Koszinusztétel

Röviden

A koszinusztétel bármely háromszögben összeköti a három oldalt és egy szöget: c² = a² + b² − 2ab · cos γ, ahol γ a c oldallal szemközti szög. Derékszögnél cos 90° = 0, így a Pitagorasz-tételt kapod; tompaszögnél a koszinusz negatív, ezért a c² nagyobb lesz.

Képletek

• $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma$
• $\cos\gamma = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Kidolgozott példa

Egy háromszög két oldala $5$ és $8,$ a köztük levő szög $60°$. Mennyi a harmadik oldal? Jelöld a-val.

Felírva: $a^{2} = 5^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(\pi/3)$

Ugyanez tompaszöggel: két oldal 5 és 3, a közbezárt szög 120°. Ekkor a harmadik oldal négyzete 25 + 9 + 15 = 49, tehát az oldal szintén 7.

Itt szokás elcsúszni

• c² = a² + b²: a −2ab · cos γ tag lemaradt (ez csak derékszögnél igaz).
• Tompaszögnél a −2ab · cos γ tagot kivonod: cos 120° = −0,5, ezért a tag előjele +.
• A számológép radiánban van: cos 60 radiánban ≈ −0,95.

Mindig új számokkal. Regisztráció nélkül.