A kör egyenlete

Röviden

A K(u; v) középpontú, r sugarú kör egyenlete (x − u)² + (y − v)² = r². Ha az egyenlet kifejtett alakban van (x² + y² + Ax + By + C = 0), teljes négyzetté alakítással kapod vissza a középpontot és a sugarat. A középpont koordinátáinak előjele a zárójelben fordított.

Képletek

• $(x - u)^2 + (y - v)^2 = r^2$
• $x^2 - 2ux = (x - u)^2 - u^2$

Kidolgozott példa

Egy kör középpontja $K(1; 1),$ és átmegy a $P(4; 5)$ ponton. Mekkora a kör sugara? Jelöld $r$-rel.

Felírva: $r^{2} = (4 - 1)^{2} + (5 - 1)^{2}$

Kifejtett alakból teljes négyzettel: x² + y² − 4x + 2y − 4 = 0 átírva (x − 2)² − 4 + (y + 1)² − 1 − 4 = 0, vagyis (x − 2)² + (y + 1)² = 9. A középpont K(2; −1), a sugár r = 3.

Itt szokás elcsúszni

• K(−2; 1): a zárójelben x − 2 áll, tehát u = 2.
• r = 9: az egyenlet jobb oldala r², a sugár ennek a gyöke.
• A teljes négyzetnél (x − 2)² = x² − 4. Kimaradt a kereszttag: (x − 2)² = x² − 4x + 4.

Mindig új számokkal. Regisztráció nélkül.