Logaritmusos egyenletek megoldása

Röviden

Logaritmusos egyenletnél először a feltételt írod fel: a logaritmus mögött csak pozitív szám állhat. Utána az azonosságokkal egyetlen logaritmusra hozod az oldalakat, és a logaritmus definíciójával eltünteted. A végén minden gyököt a feltétellel ellenőrzöl, mert egy része kieshet.

Képletek

• $\log_a b = c \iff a^c = b \quad (a > 0,\ a \ne 1,\ b > 0)$
• $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
• $\log_a\dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$
• $\log_a x^k = k \cdot \log_a x$

Kidolgozott példa

Oldd meg: $\log_{2}(x + 1) + \log_{2}(x - 1) = 3$

Feltétel: x > 1, mert a logaritmus mögött csak pozitív szám állhat. Az x = −3 is megoldása az x² = 9-nek, de nem teljesíti az x > 1 feltételt.

Itt szokás elcsúszni

• Az összeg logaritmusát szétbontod: log₂(x + 1) = log₂ x + log₂ 1. A Derivo: „Összeg logaritmusát bontottad szét. A log(a+b) NEM egyenlő log a + log b -vel. A szorzat logaritmusára van azonosság, az összegére nincs.”
• A szorzat logaritmusát szorzatra bontod: log₂((x + 1)(x − 1)) = log₂(x + 1) · log₂(x − 1). A szorzat logaritmusa a logaritmusok összege, nem a szorzatuk.
• Az x = −3-at is megtartod. Az x > 1 feltételt nem teljesíti, ezért nem megoldás.

Mindig új számokkal. Regisztráció nélkül.