Exponenciális egyenletek megoldása

Röviden

Exponenciális egyenletnél az ismeretlen a kitevőben van. Ha a két oldal felírható ugyanannak az alapnak a hatványaként, a kitevők egyenlők. Ha többféle hatvány szerepel, gyakran új ismeretlent vezetsz be (például y = 2ˣ), és másodfokú egyenletet kapsz.

Képletek

• $a^u = a^v \iff u = v \quad (a > 0,\ a \ne 1)$
• $a^{u+v} = a^u \cdot a^v$
• $(a^u)^v = a^{uv}$
• $a^x > 0 \text{ minden } x\text{-re}$

Kidolgozott példa

Oldd meg: $2^{x + 1} = 32$

Második példa: 4ˣ − 3 · 2ˣ − 4 = 0. Legyen y = 2ˣ: y² − 3y − 4 = 0, ebből y = 4 vagy y = −1. A 2ˣ = −1 lehetetlen (2ˣ mindig pozitív), a 2ˣ = 4-ből x = 2.

Itt szokás elcsúszni

• 2ˣ⁺¹ = 32-ből x + 1 = 16, vagyis x = 15 (elosztod 2-vel). A Derivo: „A kitevőben álló ismeretlen nem szorzó, ezért nem oszthatsz az alappal. Írd fel a másik oldalt az alap hatványaként.”
• Az y = −1-ből is gyököt keresel. A 2ˣ soha nem negatív.
• (2³)ˣ⁺¹ helyett 2^(3 + x + 1). Hatvány hatványozásánál a kitevők szorzódnak: (2³)ˣ⁺¹ = 2^(3(x + 1)).

Mindig új számokkal. Regisztráció nélkül.